等周問題


 

周の長さが一定のとき、面積が最大の図形は何か?

 


先ず、四角形を考える↓

周の長さを “L” とする

2組の辺の長さを x とすると残り2組の辺の長さは ( L/2 - x )

よって面積Sは

等号成立、つまり面積最大は x = L/4 のとき。これは正方形

 

四角形で周長が一定の場合、正方形の面積が最大であることが分かる。

若干 (つーか、かなり)、議論が甘いが以下、正n角形で話を進める。

周長Lの正n角形は 『 n個の底辺の長さが L/n である二等辺三角形』から成る

各、二等辺三角形の面積は

よって、正n角形の面積は

ここで π/n = x とすると

従って極限 n → ∞ ( x → 0 ) をとると、

これは周長Lの円の面積に同じ

 

周長が同じ、正n角形 (n=3、4、5、…) の面積をグラフ化したのが下の図
※周長は1で、縦軸が正n角形の面積、横軸が n と見て下さいにょ。           

nが大きくなる程、面積も大きくなり、しかし上に有界なのが何となくわかる。

大雑把に『周が一定なら円に近づくほど面積が大きくなる』ことがわかったワケね。

これはボクが高校三年の頃に暇つぶしでやってたことですケド…。尚、数学的には『円が面積最大の図形となる』ことの厳密な証明はごっつう難しいらしいんだけど、ボクは、詳細は知りません(^^;

でも、まあ、結論は

円が一番大きいの!!!


 

牛乳パックの断面形状は普通に測って、考えると正方形なんだけど、内から外への圧力がかかるので膨らんだような感じに断面形状が変形する。この状態は上で議論した『正n角形』ではないが、四角形よりは円形に近ずいた状態ですな。

この変形に際して、周長は変わっていないが断面積は増加、従って内容積の増加が起こる。

つまり別に材質が伸びたりしなくても『変形』で容積が増えますにょ!


えっ、最初から表面積一定で最も容積の大きい球形とか、せめて円筒形にしろって?

作るのが大変でかえってコストかかるじゃないですか、運搬も効率悪くなるだろうし。

 


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