津波の伝播速度公式の導出



えーっと、2005年1月5日に作ったけど面白くないんで封印したけど、せっかくだからUP。
伝播速度の導出はモデルの立て方によっていろいろあると思うけど、まぁ、適当にやってみた。

ちなみに、流体に興味あったら「今さら流体力学?」という本がお薦めです。内容を理解するにはある程度の知識が要りますが。


2004年12月26日、スマトラ島で地震発生→津波も発生でえらいこっちゃです (T-T;
津波の伝播速度は √(gh) で表現されるそうですが、個人的には一瞬「えっ、そうなん!?」という感じ。
まぁ、そんなわけで導出なり、うひゃひゃ♪



まぁ、なんだ・・・。波だから波動方程式に帰着するわけだが最近めっきり使ってない分野なんで久々に教科書開いてみた。 あー、懐かしや、一次元波動方程式↓

一次元波動方程式 ---------- (1)

等方性媒質中の進行波は上述の方程式を満足することを意味し、逆にこの偏微分方程式を満足する
関数ζ(x,t)はx方向に速さvで進行する波を表すので波動方程式と呼ばれる、うんぬんかんぬん。

ヤバイ、気のせいか難しく見える
プログラムばっかり組んでる日々を過ごすと確実にアホになります。たまには自然現象に目を向けて、基礎的な方程式の適用を考えたり、応用的な公式の導出なんかをして鈍らないように精進しましょう。

いや、まぁ、実際は簡単です (^-^;


★ モデル化

海水の密度をρ、海面での気圧p。、重力加速度g、下図のように座標を設定。理想条件下を仮定し、微小区間の海水の運動を考える。尚、注目点での海水の速度をuとする。
※ 海水の流れの速度と、伝播速度は別もんです。念のため。

モデル化

だいたい、物理・機械系では上述のようなモデル化を行い、最も支配的な現象に特化して考えるのがセオリー。地震の場合はインパルス入力か?とか、理想条件ってありえねーとか気になるが、まぁ、そのへんは最初は無視するのがミソである (^-^;  
あーそうそう、当然奥行きは単位長さを仮定、展開計算においては2次以降の項は無視。

お決まりのモデル化の後は、お決まりの式作りである。↓

★ 力のつりあい

『波動現象』自体に注目する場合、その動力源は「圧力差」。というわけで、海中における圧力を考えると↓

海中の圧力 ---------- (2)

図中の灰色微小領域について力のつりあいを考えると↓

力のつりあい
 式整理 ---------- ∵ (2)
力のつりあいの式 --------- (3)

★ 連続の式 (質量保存)

灰色微小区間において質量変化は流入量と流出量の差に等しいので↓

連続条件(質量保存)
式整理 ※運動量保存
連続の式 --------- (4)

(4) 式を時間tで微分し、(3) 式と整理を行い↓

連続の式をtで微分
海面の波動方程式 --------- (5)

(1) 式、(5) 式より、水深 h (m) における海面波の位相速度が分かる↓

海面波の伝播速度 v = √(gh)     QED.


なるほど、海面波の伝播速度は v = √(gh) らしい。
直感的には水深が深いと速度落ちそうに思ったんだけど、実際は水深の1/2乗に比例するのね。
モデルに多少の無理はあるかも知れないが、そんなわけで津波の伝播速度も v = √(gh)

地形に依存するが、インド洋なんかでも水深4000メートル以上なんてけっこうザラである。
h = 4000 m では v = 198 m/sec = 713 km/h  思ったより速いなぁ (^-^;

逆に、海岸沿いにおいて水深が浅くなれば伝播速度は落ちる。こうなると、後続波が前の波に追いつくわけで、『波の重ね合わせ』が起こるらしい。沖で高さ数メートルの波も岸でいっきに十メートルを越えていたりするとか。恐ろしや〜。


どーでも良いが、今回の津波でスリランカでは何万人も死者が出たが、不思議に動物は危険を察知して逃げたようで、ほどんど死んでないらしい。人間の遺体はあれど、動物の死骸はウサギ一匹すら見ないとか。
以前、『ナマズで地震予知とかってどうよ?』 とか懐疑的に思ってたけど案外イケるのかもね。


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